Модель ценообразования опционов Блека - Шоулза

Вернемся к истории выведения формулы. Опционная торговля только-только получила развитие (Чикагская биржа опционов была открыта в апреле 1973г., за месяц до первого опубликования работы Блэка-Шоулза), и возможность определения справедливой цены опционов с помощью математических методов рассматривалась как иллюзорная. Сначала эффективность и работоспособность предложенной модели ценообразования опционов вызывала сомнения даже у самых именитых трейдеров. Но математика оказалась применима, причем сложная математика, использующая такой непростой метод, как стохастические дифференциальные уравнения.

Формула Блэка-Шоулза не только заработала, она привела к трансформации всего рынка. Когда в 1973г. открылась Чикагская биржа опционов, в первый день ее работы торговалось менее 1000 опционов, а уже к 1995г. объем ежедневной торговли превысил 1 миллион опционов. Роль, которую сыграла модель Блэка-Шоулза в развитии рынка опционов, была так велика, что, когда на американском фондовом рынке в 1978г. произошел крах, влиятельный деловой журнал Forbes напрямую возложил ответственность за него на математическую формулу. Шоулз на это обвинение ответил, что не формулу нужно винить, а участников рынка, которые еще не достигли необходимого уровня знаний и подготовки для ее применения.

История выведения формулы началась с того, что Фишер Блэк приступил к разработке модели оценки для варрантов. Он решил использовать расчет производной для измерения того, как меняется дисконтная ставка варранта с течением времени и в зависимости от движения цены. Выведенная формула очень напоминала хорошо известное уравнение теплообмена. После этого открытия к Блэку присоединился Майрон Шоулз, и результатом их совместной работы стала модель ценообразования для опционов. Фактически, их модель стала улучшенной версией предыдущей формулы, описанной Джеймсом Бонессом (A. James Boness) в своей докторской диссертации. Коррективы, внесенные Блэком и Шоулзом, относились к доказательству, что процентная ставка по безрисковым активам является точным дисконтным множителем, кроме того, они ушли от допущений о предпочтениях инвесторов в отношении принимаемого на себя риска.

Формула использует четыре переменные: (1) срок действия опциона, (2) цена, (3) уровень процентных ставок, (4) степень рыночных колебаний и позволяет получить справедливую величину премии, уплачиваемой за опцион.

международный валютный система опцион

- теоретическая премия по опциону колл- текущая цена базовых акций- время, остающееся до срока истечения опциона, выраженное как доля года (количество дней до даты истечения/365 дней)

К - цена исполнения опциона (цена страйк)- процентная ставка по безрисковым активам(x) - кумулятивное стандартное нормальное распределение

е - экспонента (2,7183)

- годовое стандартное отклонение цены базовых акций (историческая волатильность). Рассчитывается через умножение стандартного отклонения цены за несколько дней на квадратный корень из 260 (количество торговых дней в году). - натуральный логарифм

Для понимания сути модели ее можно разделить на две части. Первая часть, SN(d1), отражает ожидаемую прибыль от покупки самих базовых акций. Расчет производится через умножение цены лежащих в основе акций [S] на изменение премии по опциону колл по отношению к изменению цены базового актива [N(d1)].

Вторая часть модели, , дает приведенную стоимость цены

исполнения (цены страйк) на дату истечения опциона. Объективная рыночная стоимость опциона колл рассчитывается путем вычитания второй части формулы из первой.

. Допущения в модели Блэка-Шоулза:

). В течение срока действия опциона дивиденды по базовым акциям не выплачиваются.

Большинство компаний выплачивают своим акционерам дивиденды, поэтому данное допущение в модели может показаться достаточно серьезным, учитывая тот факт, что высокие дивиденды снижают величину премии по опционам колл. Наиболее простой способ скорректировать модель в этом случае - вычесть дисконтированную величину будущих дивидендов из цены базовых акций.

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5

Меню сайта